Объём конуса равен 108. Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Пусть H — высота исходного конуса, а h — высота меньшего конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию. По условию задачи плоскость делит высоту в отношении 1:2 , считая от вершины. Это означает, что высота меньшего конуса составляет одну часть, а оставшаяся часть высоты до основания — две части. Таким образом, вся высота исходного конуса состоит из 1 + 2 = 3 частей. Отношение высоты меньшего конуса к высоте исходного конуса (коэффициент подобия k ) равно: k = (h)/(H) = (1)/(3). Меньший и исходный конусы подобны. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: (V_(малого))/(V_(исходного)) = k^3 = ((1)/(3))^3 = (1)/(27). Зная, что объём исходного конуса равен 108 , находим объём отсекаемого конуса: V_(малого) = (V_(исходного))/(27) = (108)/(27) = 4. Ответ: 4

4