Задача №11091

Пусть $H$ — высота исходного конуса, а $h$ — высота меньшего конуса, отсекаемого плоскостью, параллельной основанию.

По условию задачи плоскость делит высоту в отношении $1:2\text{,}$ считая от вершины. Это означает, что высота меньшего конуса составляет одну часть, а оставшаяся часть высоты до основания — две части. Таким образом, вся высота исходного конуса состоит из $1+2=3$ частей.

Отношение высоты меньшего конуса к высоте исходного конуса (коэффициент подобия $k$) равно:

$$k=\frac{h}{H}=\frac{1}{3}.$$

Меньший и исходный конусы подобны. Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

$$\frac{V_{\text{малого}}}{V_{\text{исходного}}}=k^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}.$$

Зная, что объём исходного конуса равен $108\text{,}$ находим объём отсекаемого конуса:

$$V_{\text{малого}}=\frac{V_{\text{исходного}}}{27}=\frac{108}{27}=4.$$

Ответ: 4