Задача №11085

Объём прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ равен произведению трёх его измерений (длины, ширины и высоты):

$$V=AB\cdot AD\cdot A{A}_1$$

Нам известны два ребра: $AB=6$ и $AD=4\text{.}$ Чтобы найти высоту $A{A}_1$ (равную боковому ребру $B{B}_1$), рассмотрим боковую грань $AB{B}_1{A}_1\text{,}$ которая является прямоугольником.

В прямоугольном треугольнике $AB{B}_1$ ($\angle B=90^{\circ }$) гипотенуза равна $A{B}_1=3\sqrt{5}\text{,}$ а один из катетов равен $AB=6\text{.}$ По теореме Пифагора найдём второй катет $B{B}_1\text{:}$

$$B{B}_1^2=A{B}_1^2-A{B}^2$$ $$B{B}_1^2=(3\sqrt{5}{)}^2-6^2=9\cdot 5-36=45-36=9$$ $$B{B}_1=\sqrt{9}=3$$

Так как $A{A}_1=B{B}_1=3\text{,}$ высота параллелепипеда равна 3.

Теперь вычислим объём параллелепипеда:

$$V=AB\cdot AD\cdot A{A}_1=6\cdot 4\cdot 3=72$$

Ответ: 72