Задача №11073

Объём конуса равен 27. Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2\text{,}$ считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью.

Пусть $h$ — высота исходного конуса, а $V_1=27$ — его объём.

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него меньший конус, который подобен исходному.

По условию плоскость делит высоту конуса в отношении $1:2\text{,}$ считая от вершины. Это означает, что если высота отсечённого конуса равна $x\text{,}$ то расстояние от плоскости сечения до основания равно $2x\text{.}$ Тогда высота всего конуса равна:

Коэффициент подобия $k$ меньшего и большего конусов равен отношению их высот:

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:

где $V_2$ — объём отсекаемого конуса. Выразим и найдём $V_2\text{:}$

Ответ: 1