Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно sqrt(82).

Задача №11036: Задачи по стереометрии

Объём правильной четырёхугольной пирамиды вычисляется по формуле:

V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H

где $S_{осн}$ — площадь основания, $H$ — высота пирамиды.

1. Основанием правильной четырёхугольной пирамиды является квадрат со стороной $a = 6 .$ Найдем его площадь:

S_{осн} = a^{2} = 6^{2} = 36

2. Высота пирамиды $H,$ половина диагонали основания $R$ и боковое ребро $L = 82$ образуют прямоугольный треугольник.

Диагональ $d$ квадрата со стороной $a = 6$ равна:

d = a 2 = 62

Тогда половина диагонали равна:

R = \frac{d}{2} = 32

3. По теореме Пифагора найдём высоту пирамиды $H :$

H^{2} + R^{2} = L^{2}

H^{2} + (32)^{2} = (82)^{2}

H^{2} + 18 = 82

H^{2} = 64 \Rightarrow H = 8

4. Вычислим объём пирамиды:

V = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 8 = 12 \cdot 8 = 96

Ответ: 96