Задача №11012

Боковая поверхность правильной шестиугольной пирамиды состоит из 6 равных равнобедренных треугольников.

Рассмотрим одну из боковых граней. Это равнобедренный треугольник с основанием $a=18$ и боковыми сторонами $b=41\text{.}$

Проведём высоту этого треугольника (апофему пирамиды) $h\text{.}$ Высота равнобедренного треугольника, проведённая к основанию, является также его медианой, поэтому она делит основание на два равных отрезка по $9\text{.}$

Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдём высоту $h\text{:}$

$$h=\sqrt{41^2-9^2}=\sqrt{(41-9)(41+9)}=\sqrt{32\cdot 50}=\sqrt{1600}=40$$

Площадь одной боковой грани равна:

$$S_{\text{грани}}=\frac{1}{2}\cdot a\cdot h=\frac{1}{2}\cdot 18\cdot 40=360$$

Площадь боковой поверхности пирамиды равна сумме площадей шести таких граней:

$$S_{\text{бок}}=6\cdot S_{\text{грани}}=6\cdot 360=2160$$