Задача №11002

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рёбра $BC\text{,}$ $BA$ и диагональ $B{C}_1$ боковой грани равны соответственно 6, 6 и $3\sqrt{5}\text{.}$ Найдите объём параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ воспользуемся формулой:

Из условия задачи известны длины двух рёбер: $BC=6$ и $AB=6\text{.}$ Нам необходимо найти высоту параллелепипеда — ребро $C{C}_1\text{.}$

Рассмотрим боковую грань $BC{C}_1{B}_1\text{.}$ Поскольку параллелепипед прямоугольный, грань $BC{C}_1{B}_1$ является прямоугольником. Следовательно, треугольник $BC{C}_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $C\text{.}$

По теореме Пифагора для треугольника $BC{C}_1\text{:}$

Подставим известные значения:

Теперь вычислим объём параллелепипеда:

Ответ: 108