Задача №10999 — Задачи по стереометрии (Математика (база) ЕГЭ)

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно sqrt(67).

Пусть SABCD — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной S, основанием которой является квадрат ABCD со стороной AB = 6, а боковое ребро равно SA = sqrt(67). Пусть O — точка пересечения диагоналей основания (центр квадрата), тогда SO — высота пирамиды. 1. Найдём площадь основания пирамиды (площадь квадрата ABCD): S_(осн) = AB^2 = 6^2 = 36. 2. Найдём диагональ основания AC. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: AC = sqrt(AB^2 + BC^2) = sqrt(6^2 + 6^2) = sqrt(72) = 6sqrt(2). Половина диагонали AO равна: AO = (AC)/(2) = (6sqrt(2))/(2) = 3sqrt(2). 3. Из прямоугольного треугольника SOA (где SOA = 90^) по теореме Пифагора найдём высоту пирамиды SO: SO = sqrt(SA^2 - AO^2) = sqrt((67)^2 - (32)^2) = sqrt(67 - 18) = sqrt(49) = 7. 4. Вычислим объём пирамиды: V = (1)/(3) * S_(осн) * SO. V = (1)/(3) * 36 * 7 = 12 * 7 = 84. Ответ: 84.

84