Задача №10999

Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно $\sqrt{67}\text{.}$

Пусть $SABCD$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S\text{,}$ основанием которой является квадрат $ABCD$ со стороной $AB=6\text{,}$ а боковое ребро равно $SA=\sqrt{67}\text{.}$ Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей основания (центр квадрата), тогда $SO$ — высота пирамиды.

1. Найдём площадь основания пирамиды (площадь квадрата $ABCD$):

2. Найдём диагональ основания $AC\text{.}$ По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC\text{:}$

Половина диагонали $AO$ равна:

3. Из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $\angle SOA=90^{\circ }$) по теореме Пифагора найдём высоту пирамиды $SO\text{:}$

4. Вычислим объём пирамиды:

Ответ: $84\text{.}$