Задача №10967

От деревянной правильной треугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

У правильной треугольной призмы:

• $6$ вершин,
• $9$ рёбер (по $3$ ребра в каждом из двух оснований и $3$ боковых ребра),
• $5$ граней ($2$ треугольных основания и $3$ боковые прямоугольные грани).

В каждой вершине призмы сходятся ровно $3$ ребра. Когда вершину отпиливают, на её месте появляется новая грань — треугольник, у которого $3$ ребра. При этом каждое исходное ребро призмы остаётся (оно лишь укорачивается с обоих концов), то есть число «старых» рёбер не меняется.

Посчитаем рёбра получившегося многогранника:

• исходные рёбра призмы: $9\text{;}$
• новые рёбра от отпиливания: в каждой из $6$ вершин появляется треугольник с $3$ новыми рёбрами, всего $6\cdot 3=18\text{.}$

Тогда:

Проверим по формуле Эйлера $V-E+F=2\text{.}$ После отпиливания каждой вершины (степени $3$) вместо неё возникает $3$ новые вершины, поэтому вершин стало $6\cdot 3=18\text{.}$ Граней стало $5+6=11$ ($5$ исходных граней плюс $6$ новых треугольников). Тогда:

Результат совпадает.

Ответ: 27