Через точку, делящую высоту конуса в отношении 1:2, считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен 10.

Пусть высота исходного конуса разделена плоскостью на два отрезка, отношение которых, считая от вершины, равно 1:2. Обозначим высоту меньшего (отсечённого) конуса за h_1, а высоту исходного конуса за H. Тогда: h_1 = x, H = x + 2x = 3x. Таким образом, коэффициент подобия меньшего и большего конусов равен: k = (h_1)/(H) = (x)/(3x) = (1)/(3). Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия: (V_(малого))/(V_(большого)) = k^3 = ((1)/(3))^3 = (1)/(27). По условию задачи, объём отсечённого конуса V_(малого) = 10. Подставим это значение: (10)/(V_(большого)) = (1)/(27) => V_(большого) = 10 * 27 = 270. Ответ: 270.

270