Задача №10926

Через точку, делящую высоту конуса в отношении $1:2\text{,}$ считая от вершины, проведена плоскость, параллельная основанию. Найдите объём этого конуса, если объём конуса, отсекаемого от данного конуса проведённой плоскостью, равен $10\text{.}$

Пусть высота исходного конуса разделена плоскостью на два отрезка, отношение которых, считая от вершины, равно $1:2\text{.}$

Обозначим высоту меньшего (отсечённого) конуса за $h_1\text{,}$ а высоту исходного конуса за $H\text{.}$ Тогда:
$h_1=x,H=x+2x=3x\text{.}$

Таким образом, коэффициент подобия меньшего и большего конусов равен:
$k=\frac{h_1}{H}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}\text{.}$

Объёмы подобных тел относятся как куб коэффициента подобия:
$\frac{V_{\text{малого}}}{V_{\text{большого}}}=k^3={\left(\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{1}{27}\text{.}$

По условию задачи, объём отсечённого конуса $V_{\text{малого}}=10\text{.}$ Подставим это значение:
$\frac{10}{V_{\text{большого}}}=\frac{1}{27}\Rightarrow V_{\text{большого}}=10\cdot 27=270\text{.}$

Ответ: 270.