Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6 , а боковое ребро равно sqrt(43) .

Задача №10903: Задачи по стереометрии

Пусть $S A B C D$ — правильная четырёхугольная пирамида с вершиной $S .$ Основанием пирамиды является квадрат $A B C D .$

1. Найдем площадь основания пирамиды $S_{осн} :$

S_{осн} = A B^{2} = 6^{2} = 36.

2. Диагональ квадрата $A B C D$ со стороной $6$ равна:

A C = A B 2 = 62 .

3. Высота пирамиды $S O$ проектируется в точку пересечения диагоналей основания $O .$ Диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

A O = \frac{A C}{2} = \frac{6 2}{2} = 32 .

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $S O A$ (угол $S O A = 9 0^{\circ}$ ). По теореме Пифагора найдём высоту $S O :$

S O^{2} = S A^{2} - A O^{2},

S O^{2} = (43)^{2} - (32)^{2} = 43 - 18 = 25,

S O = 5.

5. Вычислим объём пирамиды по формуле:

V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot S O = \frac{1}{3} \cdot 36 \cdot 5 = 12 \cdot 5 = 60.

Ответ: 60