В треугольнике ABC сторона AC = 6, BM — медиана, BH — высота, BC = BM. Найдите длину отрезка AH.

Так как BM — медиана треугольника ABC, проведенная к стороне AC, точка M является серединой стороны AC. Следовательно: AM = MC = racAC2 = rac62 = 3. По условию задачи BC = BM, значит, треугольник BMC является равнобедренным с основанием MC. Поскольку BH — высота треугольника ABC, опущенная на сторону AC, она также является высотой треугольника BMC, проведенной к его основанию MC. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Таким образом, BH — медиана треугольника BMC, и точка H является серединой отрезка MC: MH = racMC2 = rac32 = 1,5. Точки на прямой расположены в следующем порядке: A, M, H, C. Поэтому длина отрезка AH равна: AH = AM + MH = 3 + 1,5 = 4,5.

4,5