Задача №10899

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ проведенная к стороне $AC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Следовательно:

AM = MC = rac{AC}{2} = rac{6}{2} = 3.

По условию задачи $BC=BM\text{,}$ значит, треугольник $BMC$ является равнобедренным с основанием $MC\text{.}$

Поскольку $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ опущенная на сторону $AC\text{,}$ она также является высотой треугольника $BMC\text{,}$ проведенной к его основанию $MC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведенная к основанию, является также медианой. Таким образом, $BH$ — медиана треугольника $BMC\text{,}$ и точка $H$ является серединой отрезка $MC\text{:}$

MH = rac{MC}{2} = rac{3}{2} = 1{,}5.

Точки на прямой расположены в следующем порядке: $A\text{,}$ $M\text{,}$ $H\text{,}$ $C\text{.}$ Поэтому длина отрезка $AH$ равна:

$$AH=AM+MH=3+1,5=4,5.$$