Задача №10898

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD\text{.}$

1. По свойству параллелограмма его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

$$OC=\frac{1}{2}AC.$$

2. По условию диагональ $AC$ в два раза больше стороны $AB\text{,}$ то есть:

$$AB=\frac{1}{2}AC,$$

Отсюда получаем, что $OC=AB\text{.}$

3. В параллелограмме противоположные стороны равны, следовательно, $CD=AB\text{.}$
Так как $OC=AB$ и $CD=AB\text{,}$ то:

$$OC=CD.$$

4. Рассмотрим треугольник $OCD\text{.}$ Поскольку $OC=CD\text{,}$ этот треугольник является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$
Следовательно, углы при основании равны:

$$\angle COD=\angle CDO.$$

5. Угол $OCD$ совпадает с углом $ACD\text{,}$ то есть $\angle OCD=70^{\circ }\text{.}$
Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому для треугольника $OCD$ запишем:

$$\angle OCD+\angle COD+\angle CDO=180^{\circ }$$ $$70^{\circ }+2\angle COD=180^{\circ }$$ $$2\angle COD=110^{\circ }$$ $$\angle COD=55^{\circ }.$$

Угол между диагоналями равен $55^{\circ }\text{,}$ так как этот угол является острым углом между прямыми, содержащими диагонали.