Задача №10877

Объём пирамиды равен $V=\frac{1}{3}{S}_{\text{осн}}\cdot h\text{,}$ где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, $h$ — высота.

Основание — квадрат со стороной $a=6\text{,}$ поэтому его площадь:

$$S_{\text{осн}}=a^2=6^2=36.$$

Высота пирамиды опускается из вершины в центр основания. Центр квадрата — точка пересечения диагоналей. Диагональ квадрата:

$$d=a\sqrt{2}=6\sqrt{2},$$

а расстояние от центра до вершины основания равно половине диагонали:

$$r=\frac{d}{2}=3\sqrt{2}.$$

Боковое ребро, высота пирамиды и этот отрезок образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой — боковым ребром $l=3\sqrt{6}\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$h=\sqrt{l^2-r^2}=\sqrt{{\left(3\sqrt{6}\right)}^2-{\left(3\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{54-18}=\sqrt{36}=6.$$

Тогда объём:

$$V=\frac{1}{3}\cdot 36\cdot 6=72.$$

Ответ: 72.