Найдите объём правильной четырёхугольной пирамиды, сторона основания которой равна 6, а боковое ребро равно 3sqrt(6).

Объём пирамиды равен V = (1)/(3) S_(осн) * h , где S_(осн) — площадь основания, h — высота. Основание — квадрат со стороной a = 6 , поэтому его площадь: S_(осн) = a^2 = 6^2 = 36. Высота пирамиды опускается из вершины в центр основания. Центр квадрата — точка пересечения диагоналей. Диагональ квадрата: d = asqrt(2) = 6sqrt(2), а расстояние от центра до вершины основания равно половине диагонали: r = (d)/(2) = 3sqrt(2). Боковое ребро, высота пирамиды и этот отрезок образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой — боковым ребром l = 3sqrt(6) . По теореме Пифагора: h = sqrt(l^2 - r^2) = sqrt((36)^2 - (32)^2) = sqrt(54 - 18) = sqrt(36) = 6. Тогда объём: V = (1)/(3) * 36 * 6 = 72. Ответ: 72.

72