В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 16, боковая сторона BC = 34. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB = BC = 34 отрезок BK — медиана к основанию AC. В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому BK AC и K — середина AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник BKC с прямым углом при вершине K. По теореме Пифагора: KC = sqrt(BC^2 - BK^2) = sqrt(34^2 - 16^2) = sqrt(1156 - 256) = sqrt(900) = 30. Так как K — середина AC, то AC = 2 * KC = 60. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон AB и BC, значит, это средняя линия треугольника, параллельная основанию AC. Длина средней линии равна половине основания: MN = (AC)/(2) = (60)/(2) = 30. Ответ: 30.

30