Задача №10871

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC=34$ отрезок $BK$ — медиана к основанию $AC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, является также высотой, поэтому $BK\perp AC$ и $K$ — середина $AC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $BKC$ с прямым углом при вершине $K\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$KC=\sqrt{B{C}^2-B{K}^2}=\sqrt{34^2-16^2}=\sqrt{1156-256}=\sqrt{900}=30.$$

Так как $K$ — середина $AC\text{,}$ то $AC=2\cdot KC=60\text{.}$

Отрезок $MN$ соединяет середины боковых сторон $AB$ и $BC\text{,}$ значит, это средняя линия треугольника, параллельная основанию $AC\text{.}$ Длина средней линии равна половине основания:

$$MN=\frac{AC}{2}=\frac{60}{2}=30.$$

Ответ: 30.