Задача №10867 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC угол B равен 120°. Медиана BM делит угол B пополам и равна 8. Найдите длину стороны AB.

Медиана BM делит угол B пополам, следовательно, она также является биссектрисой этого угла. Так как в треугольнике ABC медиана и биссектриса, проведённые из вершины B, совпадают, то треугольник ABC является равнобедренным с основанием AC (стороны AB и BC равны). В равнобедренном треугольнике медиана, проведённая к основанию, также является и высотой. Значит, BM AC, и треугольник ABM является прямоугольным с прямым углом при вершине M ( AMB = 90^). Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM: 1. Так как BM — биссектриса угла B, угол ABM равен: ABM = ( B)/(2) = (120^)/(2) = 60^ 2. Найдём угол A: A = 90^ - ABM = 90^ - 60^ = 30^ 3. В прямоугольном треугольнике напротив угла в 30^ лежит катет, равный половине гипотенузы. Катет BM лежит напротив угла A = 30^, следовательно: BM = (1)/(2) AB => AB = 2 * BM 4. Так как BM = 8, получаем: AB = 2 * 8 = 16

16