Задача №10864

В параллелограмме $ABCD$ отмечена точка $M$ — середина стороны $BC\text{.}$ Отрезки $BD$ и $AM$ пересекаются в точке $K\text{.}$ Найдите длину отрезка $BK\text{,}$ если $BD=12\text{.}$

Рассмотрим треугольники $BKM$ и $DKA\text{.}$

1. Так как $ABCD$ — параллелограмм, противоположные стороны $BC$ и $AD$ параллельны ($BC\parallel AD$).
2. Углы $\angle KBM$ и $\angle KDA$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC\text{,}$ $AD$ и секущей $BD\text{.}$
3. Углы $\angle KMB$ и $\angle KAD$ равны как накрест лежащие при параллельных прямых $BC\text{,}$ $AD$ и секущей $AM\text{.}$
4. Следовательно, треугольники $BKM$ и $DKA$ подобны по двум углам ($△BKM\sim △DKA$).

Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон:

Поскольку $M$ — середина $BC\text{,}$ имеем $BM=\frac{1}{2}BC\text{.}$ Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC=AD\text{,}$ откуда $BM=\frac{1}{2}AD\text{.}$

Подставим это отношение в формулу подобия:

Длина диагонали $BD$ равна сумме отрезков $BK$ и $KD\text{:}$

По условию $BD=12\text{,}$ следовательно:

$3BK=12\Rightarrow BK=4$

Ответ: $BK=4$