Задача №10864 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите длину отрезка BK, если BD = 12.

Рассмотрим треугольники BKM и DKA. 1. Так как ABCD — параллелограмм, противоположные стороны BC и AD параллельны (BC AD). 2. Углы KBM и KDA равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей BD. 3. Углы KMB и KAD равны как накрест лежащие при параллельных прямых BC, AD и секущей AM. 4. Следовательно, треугольники BKM и DKA подобны по двум углам ( BKM DKA). Из подобия треугольников следует отношение сходственных сторон: (BK)/(KD) = (BM)/(AD) Поскольку M — середина BC, имеем BM = (1)/(2) BC. Так как ABCD — параллелограмм, то BC = AD, откуда BM = (1)/(2) AD. Подставим это отношение в формулу подобия: (BK)/(KD) = ((1)/(2) AD)/(AD) = (1)/(2) => KD = 2 BK Длина диагонали BD равна сумме отрезков BK и KD: BD = BK + KD = BK + 2 BK = 3 BK По условию BD = 12, следовательно: 3 BK = 12 => BK = 4 Ответ: BK = 4

4