Задача №10863

Так как $AB=BC\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с основанием $AC\text{.}$ Медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является также его высотой, поэтому $BM\perp AC$ и $M$ — середина $AC\text{.}$

Площадь треугольника через основание $AC$ и высоту $BM\text{:}$

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BM.$$

Подставим известные значения $S=2\sqrt{21}$ и $BM=2\text{:}$

$$2\sqrt{21}=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot 2=AC.$$

Значит $AC=2\sqrt{21}\text{,}$ и тогда

$$AM=\frac{AC}{2}=\sqrt{21}.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ ($\angle AMB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{M}^2+B{M}^2=(\sqrt{21}{)}^2+2^2=21+4=25.$$

Следовательно:

$$AB=\sqrt{25}=5.$$

Ответ: 5.