Задача №10862

В окружности с центром $O$ $AC$ и $BD$ — диаметры. Центральный угол $AOD$ равен $136^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $ACB\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Способ 1 (через равнобедренный треугольник):

1. Так как $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O\text{,}$ точка $O$ является их точкой пересечения и делит их пополам. Следовательно, отрезки $OA\text{,}$ $OB\text{,}$ $OC$ и $OD$ равны как радиусы окружности:

2. Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, поэтому они равны:

3. Рассмотрим треугольник $BOC\text{.}$ Поскольку $OB=OC\text{,}$ этот треугольник является равнобедренным с основанием $BC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

4. Сумма углов в треугольнике равна $180^{\circ }\text{.}$ Тогда для треугольника $BOC\text{:}$

Угол $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle OCB\text{,}$ следовательно, $\angle ACB=22^{\circ }\text{.}$

Способ 2 (через вписанные углы):

1. Поскольку $AC$ и $BD$ — диаметры окружности, они делят окружность на дуги. Градусная мера дуги $AD$ равна величине соответствующего центрального угла $\angle AOD\text{:}$

2. Так как $BD$ — диаметр, дуга $BAD$ представляет собой полуокружность и равна $180^{\circ }\text{.}$ Тогда градусная мера дуги $AB$ равна:

3. Вписанный угол $\angle ACB$ опирается на дугу $AB\text{.}$ Величина вписанного угла равна половине дуги, на которую он опирается:

Ответ: $22^{\circ }\text{.}$