Задача №10859

Сумма углов выпуклого четырёхугольника равна $360^{\circ }\text{,}$ поэтому

$$\angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ }.$$

Отсюда

$$\angle A+\angle C=360^{\circ }-\angle B-\angle D=360^{\circ }-54^{\circ }-92^{\circ }=214^{\circ }.$$

Проведём диагональ $BD\text{.}$ Треугольники $ABD$ и $CBD$ равны по трём сторонам: $AB=CB\text{,}$ $AD=CD\text{,}$ а сторона $BD$ общая. Из равенства треугольников следует $\angle A=\angle C\text{.}$

Тогда:

$$\angle A=\frac{\angle A+\angle C}{2}=\frac{214^{\circ }}{2}=107^{\circ }.$$

Ответ: 107.