Задача №10854

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$

Известно, что диагонали ромба взаимно перпендикулярны ($AC\perp BD$) и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ — прямоугольный ($\angle AOB=90^{\circ }$), а длина отрезка $AO$ равна:

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{24}{2}=12.$$

Площадь ромба $S$ выражается через его диагонали по формуле:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BD.$$

Подставим известные значения:

$$144=\frac{1}{2}\cdot 24\cdot BD$$ $$144=12\cdot BD\Rightarrow BD=12.$$

Так как точка $O$ делит диагональ $BD$ пополам, имеем:

$$BO=\frac{BD}{2}=\frac{12}{2}=6.$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ тангенс угла $BAC$ (который совпадает с углом $BAO$) равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{6}{12}=0,5.$$

Ответ: $0,5\text{.}$