Задача №10853

Пусть дана равнобедренная трапеция $ABCD$ с основаниями $BC=11$ и $AD=21\text{,}$ и боковыми сторонами $AB=CD=13\text{.}$

Проведем высоты $BH$ и $CK$ к большему основанию $AD\text{.}$

Так как трапеция равнобедренная, треугольники $ABH$ и $DCK$ равны по гипотенузе и катету ($AB=CD\text{,}$ $BH=CK$ как высоты трапеции). Следовательно, $AH=KD\text{.}$

Четырёхугольник $HBCK$ является прямоугольником, поэтому $HK=BC=11\text{.}$

Найдем длину отрезка $AH\text{:}$

$$AH=\frac{AD-HK}{2}=\frac{21-11}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2$$

Подставим известные значения:

$$13^2=5^2+B{H}^2$$ $$169=25+B{H}^2$$ $$B{H}^2=169-25=144$$ $$BH=12.$$

Таким образом, высота трапеции равна 12.