Задача №10850

В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ }$) синус угла $A$ определяется как отношение противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin A=\frac{BC}{AB}$$

Отсюда найдём катет $BC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \sin A=3\sqrt{5}\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}=6$$

По теореме Пифагора найдём катет $AC\text{:}$

$$AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{(3\sqrt{5}{)}^2-6^2}=\sqrt{45-36}=\sqrt{9}=3$$

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 6=9$$

Ответ: $9\text{.}$