Задача №10847

Так как внешний угол при вершине $C$ равен $150^{\circ }\text{,}$ внутренний угол $BCA$ смежен с ним, следовательно:

$$\angle BCA=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

В треугольнике $ABC$ стороны $AB$ и $BC$ равны ($AB=BC=26$), значит, треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$

Отрезок $BK$ — медиана, проведённая к основанию равнобедренного треугольника. По свойству равнобедренного треугольника, медиана, проведённая к основанию, также является высотой. Таким образом, $BK\perp AC\text{,}$ и треугольник $BKC$ — прямоугольный ($\angle BKC=90^{\circ }$).

В прямоугольном треугольнике $BKC$ катет $BK$ лежит напротив угла $\angle BCK=30^{\circ }\text{.}$ Катет, лежащий напротив угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $BC\text{:}$

$$BK=\frac{BC}{2}=\frac{26}{2}=13.$$

Ответ: 13