Задача №10819

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей параллелограмма $ABCD\text{.}$

По свойству параллелограмма его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому $OC=\frac{1}{2}AC\text{.}$ Из условия известно, что $AC=2AB\text{,}$ следовательно $AB=\frac{1}{2}AC\text{.}$ Так как противоположные стороны параллелограмма равны, то $CD=AB\text{.}$ Из этого следует $CD=OC\text{.}$

Таким образом, треугольник $COD$ — равнобедренный с основанием $OD\text{.}$ Углы при основании такого треугольника равны: $\angle DOC=\angle ODC\text{.}$

Сумма углов треугольника равна $180^{\circ }\text{.}$ Зная, что $\angle OCD=74^{\circ }\text{,}$ найдем угол $\angle DOC\text{:}$ $\angle DOC=\frac{180^{\circ }-74^{\circ }}{2}=53^{\circ }\text{.}$

Угол между диагоналями параллелограмма (угол между пересекающимися прямыми) — это меньший из образованных углов (острый или прямой). Так как $53^{\circ }<90^{\circ }\text{,}$ то искомый угол равен $53^{\circ }\text{.}$

Ответ: $53^{\circ }\text{.}$