Задача №10815

Треугольники $MBK$ и $ABC$ имеют общий угол $B$ (точки $M$ и $K$ лежат на сторонах $AB$ и $BC$).

Площадь треугольника через две стороны и угол между ними:

$$S_{MBK}=\frac{1}{2}\cdot BM\cdot BK\cdot \sin B,S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot BC\cdot \sin B.$$

Тогда отношение площадей не зависит от угла $B\text{:}$

$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{BM\cdot BK}{AB\cdot BC}=\frac{BM}{AB}\cdot \frac{BK}{BC}.$$

По условию $BM:AB=1:2\text{,}$ то есть $\frac{BM}{AB}=\frac{1}{2}\text{,}$ и $BK:BC=10:13\text{,}$ то есть $\frac{BK}{BC}=\frac{10}{13}\text{.}$

Следовательно:

$$\frac{S_{MBK}}{S_{ABC}}=\frac{1}{2}\cdot \frac{10}{13}=\frac{10}{26}=\frac{5}{13}.$$

Тогда:

$$\frac{S_{ABC}}{S_{MBK}}=\frac{13}{5}=2,6.$$

Ответ: 2,6.