Задача №10810

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ параллелограмма $ABCD\text{.}$

По свойству параллелограмма, его диагонали точкой пересечения делятся пополам, поэтому:

$$OC=\frac{1}{2}AC.$$

Из условия задачи известно, что $AC=2AB\text{,}$ откуда следует, что:

$$AB=\frac{1}{2}AC.$$

Следовательно, $OC=AB\text{.}$

Поскольку противоположные стороны параллелограмма равны, то $CD=AB\text{.}$ Таким образом:

$$OC=CD.$$

Это означает, что треугольник $OCD$ является равнобедренным с основанием $OD\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle ODC=\angle DOC.$$

Сумма углов в треугольнике $OCD$ равна $180^{\circ }\text{.}$ Так как $\angle OCD=\angle ACD=77^{\circ }\text{,}$ получаем:

$$\angle OCD+\angle ODC+\angle DOC=180^{\circ },$$ $$77^{\circ }+2\angle DOC=180^{\circ },$$ $$2\angle DOC=103^{\circ },$$ $$\angle DOC=51,5^{\circ }.$$

Угол между пересекающимися прямыми определяется как наименьший из образованных углов. Так как $51,5^{\circ }⩽90^{\circ }\text{,}$ то искомый угол равен $51,5^{\circ }\text{.}$