Задача №10807

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^{\circ }\text{,}$ $AB=22\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

Найдем внутренние углы треугольника $ABC$ при вершинах $A$ и $C\text{.}$ Сумма смежных углов равна $180^{\circ }\text{,}$ поэтому:

Так как $\angle A=\angle C=30^{\circ }\text{,}$ треугольник $ABC$ является равнобедренным с основанием $AC\text{.}$ Следовательно, боковые стороны равны: $AB=BC=22\text{.}$

В равнобедренном треугольнике биссектриса $BK\text{,}$ проведенная к основанию, является также высотой. Значит, $BK\perp AC\text{,}$ а треугольник $ABK$ — прямоугольный ($\angle AKB=90^{\circ }$).

В прямоугольном треугольнике $ABK$ против угла $\angle A=30^{\circ }$ лежит катет $BK\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $AB\text{:}$