Задача №10805

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$

В равнобедренном треугольнике $ABC$ ($AB=BC$) высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому:

$$AH=\frac{AC}{2}=\frac{10}{2}=5.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABH$ ($\angle AHB=90^{\circ }$). По определению тангенса угла:

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BH}{AH}.$$

Подставим известные значения в это отношение:

$$\frac{\sqrt{11}}{5}=\frac{BH}{5}\Rightarrow BH=\sqrt{11}.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABH\text{:}$

$$A{B}^2=A{H}^2+B{H}^2.$$

Подставим найденные значения:

$$A{B}^2=5^2+(\sqrt{11}{)}^2=25+11=36.$$

Следовательно:

$$AB=\sqrt{36}=6.$$

Ответ: 6.