Задача №10805 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В треугольнике ABC известно, что AB = BC, AC = 10, tg BAC = (sqrt(11))/(5). Найдите длину стороны AB.

Проведём высоту BH к основанию AC. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) высота, проведённая к основанию, является также и медианой, поэтому: AH = (AC)/(2) = (10)/(2) = 5. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABH ( AHB = 90^). По определению тангенса угла: tg BAC = (BH)/(AH). Подставим известные значения в это отношение: (sqrt(11))/(5) = (BH)/(5) => BH = sqrt(11). По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника ABH: AB^2 = AH^2 + BH^2. Подставим найденные значения: AB^2 = 5^2 + (sqrt(11))^2 = 25 + 11 = 36. Следовательно: AB = sqrt(36) = 6. Ответ: 6.

6