Задача №10802

Так как отрезок $AB$ — диаметр окружности, вписанный угол $\angle ACB\text{,}$ опирающийся на этот диаметр, является прямым ($90^{\circ }$). Таким образом, треугольник $ABC$ — прямоугольный с гипотенузой $AB\text{.}$

Найдем длину диаметра $AB\text{,}$ зная радиус окружности $R=\sqrt{10}\text{:}$

$$AB=2R=2\sqrt{10}.$$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC\text{:}$

$$A{C}^2+B{C}^2=A{B}^2.$$

Подставим известные значения:

$$6^2+B{C}^2=(2\sqrt{10}{)}^2\Rightarrow 36+B{C}^2=40\Rightarrow B{C}^2=4.$$

Так как длина отрезка выражается положительным числом, получаем:

$$BC=2.$$

Ответ: 2