Задача №10800

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ необходимо знать три его измерения: длину, ширину и высоту.

По условию задачи:

• $AB=4$ — ширина основания;
• $AD=7$ — длина основания.

Найдём высоту параллелепипеда, которая равна боковому ребру $B{B}_1\text{.}$ Рассмотрим боковую грань $AB{B}_1{A}_1\text{.}$ Так как параллелепипед прямоугольный, грань $AB{B}_1{A}_1$ является прямоугольником. Из прямоугольного треугольника $AB{B}_1$ (угол $B$ равен $90^{\circ }$) по теореме Пифагора:

$$A{B}_1^2=A{B}^2+B{B}_1^2.$$

Подставим известные значения:

$$(\sqrt{41}{)}^2=4^2+B{B}_1^2;$$ $$41=16+B{B}_1^2;$$ $$B{B}_1^2=41-16=25;$$ $$B{B}_1=5.$$

Таким образом, высота параллелепипеда равна 5.

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

$$V=AB\cdot AD\cdot B{B}_1=4\cdot 7\cdot 5=140.$$

Ответ: 140