В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 рёбра AB, AD и диагональ AB_1 боковой грани равны соответственно 4, 7 и sqrt(41). Найдите объём параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1.

Для нахождения объёма прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 необходимо знать три его измерения: длину, ширину и высоту. По условию задачи: - AB = 4 — ширина основания; - AD = 7 — длина основания. Найдём высоту параллелепипеда, которая равна боковому ребру BB_1. Рассмотрим боковую грань ABB_1A_1. Так как параллелепипед прямоугольный, грань ABB_1A_1 является прямоугольником. Из прямоугольного треугольника ABB_1 (угол B равен 90^) по теореме Пифагора: AB_1^2 = AB^2 + BB_1^2. Подставим известные значения: (sqrt(41))^2 = 4^2 + BB_1^2; 41 = 16 + BB_1^2; BB_1^2 = 41 - 16 = 25; BB_1 = 5. Таким образом, высота параллелепипеда равна 5. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: V = AB * AD * BB_1 = 4 * 7 * 5 = 140. Ответ: 140

140