Задача №10797

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, а все углы прямые. Значит $BC=AD=119\text{,}$ $CD=AB=51\text{,}$ а углы при вершинах $B$ и $C$ прямые.

Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ В нём угол $B$ прямой (угол прямоугольника), а $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Тогда третий угол тоже равен $45^{\circ }\text{,}$ то есть треугольник $ABE$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому:

$$BE=AB=51.$$

Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ значит:

$$EC=BC-BE=119-51=68.$$

Теперь рассмотрим треугольник $ECD\text{.}$ В нём угол $C$ прямой, катеты $EC=68$ и $CD=51\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$ED=\sqrt{E{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{68^2+51^2}=\sqrt{4624+2601}=\sqrt{7225}=85.$$

Ответ: 85.