Задача №10792

В прямоугольном треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ синус острого угла $A$ равен отношению противолежащего катета $BC$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\sin A=\frac{BC}{AB}.$$

Используя основное тригонометрическое тождество ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1\text{,}$ найдём $\sin A\text{.}$ Так как угол $A$ — острый, его синус положителен:

$$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{12}{13}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{144}{169}}=\sqrt{\frac{25}{169}}=\frac{5}{13}.$$

Выразим и найдём длину стороны $BC\text{:}$

$$BC=AB\cdot \sin A=26\cdot \frac{5}{13}=2\cdot 5=10.$$

Ответ: 10.