Задача №10789

Поскольку $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O\text{,}$ точка $O$ является их точкой пересечения. Отрезки $OA\text{,}$ $OB\text{,}$ $OC$ и $OD$ равны радиусу окружности $R\text{.}$

Углы $\angle AOD$ и $\angle BOC$ являются вертикальными, следовательно:

$$\angle BOC=\angle AOD=100^{\circ }.$$

Рассмотрим треугольник $BOC\text{.}$ В нём стороны $OB=OC=R\text{,}$ значит, треугольник $BOC$ — равнобедренный с основанием $BC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle OBC=\angle OCB.$$

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ }\text{.}$ Для треугольника $BOC\text{:}$

$$\angle BOC+\angle OBC+\angle OCB=180^{\circ }.$$

Подставим известные значения:

$$100^{\circ }+2\angle OCB=180^{\circ }$$ $$2\angle OCB=80^{\circ }$$ $$\angle OCB=40^{\circ }.$$

Так как точка $O$ лежит на отрезке $AC\text{,}$ угол $\angle ACB$ равен углу $\angle OCB\text{.}$

Ответ: $40^{\circ }\text{.}$