Задача №10789 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В окружности с центром O AC и BD — диаметры. Центральный угол AOD равен 100^. Найдите угол ACB. Ответ дайте в градусах.

Поскольку AC и BD — диаметры окружности с центром O, точка O является их точкой пересечения. Отрезки OA, OB, OC и OD равны радиусу окружности R. Углы AOD и BOC являются вертикальными, следовательно: BOC = AOD = 100^. Рассмотрим треугольник BOC. В нём стороны OB = OC = R, значит, треугольник BOC — равнобедренный с основанием BC. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны: OBC = OCB. Сумма углов любого треугольника равна 180^. Для треугольника BOC: BOC + OBC + OCB = 180^. Подставим известные значения: 100^ + 2 OCB = 180^ 2 OCB = 80^ OCB = 40^. Так как точка O лежит на отрезке AC, угол ACB равен углу OCB. Ответ: 40^.

40