Задача №10784

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, также является его высотой. Следовательно, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ — прямоугольный с прямым углом $M\text{.}$

По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABM\text{:}$

$$A{M}^2+B{M}^2=A{B}^2.$$

Подставим известные значения $AB=10$ и $BM=\sqrt{51}\text{:}$

$$A{M}^2+(\sqrt{51}{)}^2=10^2.$$ $$A{M}^2+51=100.$$ $$A{M}^2=49.$$ $$AM=7(\text{так как }AM>0).$$

Косинус угла $BAC$ (который совпадает с углом $BAM$) в прямоугольном треугольнике $ABM$ равен отношению прилежащего катета $AM$ к гипотенузе $AB\text{:}$

$$\cos \angle BAC=\frac{AM}{AB}=\frac{7}{10}=0,7.$$

Ответ: 0,7