Задача №10782

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=56$ и $AD=89\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

[Рисунок]

В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны, поэтому $CD=AB=56$ и $BC=AD=89\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$ ($\angle B=90^{\circ }$). По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$\angle AEB=90^{\circ }-45^{\circ }=45^{\circ }$$

Так как два угла треугольника $ABE$ равны, он является равнобедренным, откуда $BE=AB=56\text{.}$

Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ значит, длина отрезка $EC$ равна:

$$EC=BC-BE=89-56=33$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ECD$ ($\angle C=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

$$ED=\sqrt{E{C}^2+C{D}^2}=\sqrt{33^2+56^2}=\sqrt{1089+3136}=\sqrt{4225}=65$$

Ответ: 65.