Задача №10780

Пусть в равнобедренном треугольнике $ABC$ боковые стороны равны $AB=BC=50\text{.}$

Проведём высоту $BH$ к основанию $AC\text{.}$ Так как треугольник равнобедренный, высота $BH$ также является медианой, то есть $AC=2AH\text{.}$

1. В прямоугольном треугольнике $ABH$ (угол $H=90^{\circ }$) найдём высоту $BH\text{:}$

$$BH=AB\cdot \sin A=50\cdot \frac{7}{25}=14$$

2. Найдём $\cos A$ с помощью основного тригонометрического тождества:

$$\cos A=\sqrt{1-{\sin }^{2}A}=\sqrt{1-{\left(\frac{7}{25}\right)}^2}=\sqrt{\frac{576}{625}}=\frac{24}{25}$$

3. Найдём отрезок $AH\text{:}$

$$AH=AB\cdot \cos A=50\cdot \frac{24}{25}=48$$

4. Тогда основание $AC$ равно:

$$AC=2\cdot AH=2\cdot 48=96$$

5. Площадь треугольника $ABC$ равна:

$$S=\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot 96\cdot 14=48\cdot 14=672$$

Ответ: 672