Задача №10779 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

На окружности с центром O и диаметром AB отмечена точка C так, что угол COB равен 120^, AC = 34. Найдите диаметр окружности.

Поскольку AB — диаметр окружности, точки A, O и B лежат на одной прямой. Углы AOC и COB являются смежными, поэтому их сумма равна 180^: AOC = 180^ - COB = 180^ - 120^ = 60^. Рассмотрим треугольник AOC. Отрезки OA и OC являются радиусами окружности, поэтому OA = OC. Следовательно, треугольник AOC — равнобедренный с углом при вершине AOC = 60^. Так как в равнобедренном треугольнике один из углов равен 60^, этот треугольник является равносторонним. Таким образом: OA = OC = AC = 34. Радиус окружности R = 34. Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: D = 2R = 2 * 34 = 68.

68