Задача №10779

На окружности с центром $O$ и диаметром $AB$ отмечена точка $C$ так, что угол $\angle COB$ равен $120^{\circ }\text{,}$ $AC=34\text{.}$ Найдите диаметр окружности.

Поскольку $AB$ — диаметр окружности, точки $A\text{,}$ $O$ и $B$ лежат на одной прямой. Углы $\angle AOC$ и $\angle COB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{:}$

Рассмотрим треугольник $AOC\text{.}$ Отрезки $OA$ и $OC$ являются радиусами окружности, поэтому $OA=OC\text{.}$ Следовательно, треугольник $AOC$ — равнобедренный с углом при вершине $\angle AOC=60^{\circ }\text{.}$

Так как в равнобедренном треугольнике один из углов равен $60^{\circ }\text{,}$ этот треугольник является равносторонним. Таким образом:

Радиус окружности $R=34\text{.}$ Диаметр окружности равен удвоенному радиусу: