Задача №10776

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с боковыми сторонами $AB=BC$ высота $BK\text{,}$ проведённая к основанию, также является биссектрисой и медианой.

Поскольку $BK$ — биссектриса угла $ABC\text{,}$ получаем:

$$\angle ABK=\frac{\angle ABC}{2}=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ (угол $AKB=90^{\circ }$). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна $90^{\circ }\text{,}$ поэтому:

$$\angle BAK=90^{\circ }-\angle ABK=90^{\circ }-60^{\circ }=30^{\circ }$$

(Этот же результат можно получить, найдя углы при основании равнобедренного треугольника $ABC\text{:}$ $\angle BAC=\angle BCA=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$).

В прямоугольном треугольнике $ABK$ против угла в $30^{\circ }$ лежит катет $BK\text{,}$ который равен половине гипотенузы $AB\text{:}$

$$BK=\frac{1}{2}AB\Rightarrow AB=2\cdot BK$$

Подставим известное значение $BK=25\text{:}$

$$AB=2\cdot 25=50$$

Ответ: 50.