Задача №10776 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC угол ABC равен 120^. Высота BK, проведённая к основанию, равна 25. Найдите боковую сторону AB.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB = BC высота BK, проведённая к основанию, также является биссектрисой и медианой. Поскольку BK — биссектриса угла ABC, получаем: ABK = ( ABC)/(2) = (120^)/(2) = 60^ Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK (угол AKB = 90^). Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90^, поэтому: BAK = 90^ - ABK = 90^ - 60^ = 30^ (Этот же результат можно получить, найдя углы при основании равнобедренного треугольника ABC: BAC = BCA = (180^ - 120^)/(2) = 30^ ). В прямоугольном треугольнике ABK против угла в 30^ лежит катет BK, который равен половине гипотенузы AB: BK = (1)/(2) AB => AB = 2 * BK Подставим известное значение BK = 25: AB = 2 * 25 = 50 Ответ: 50.

50