Задача №10768

Дано: в равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ внешний угол при основании равен $150^{\circ }\text{,}$ а медиана $BM=63\text{.}$

1. Внутренний угол при основании $C$ и внешний угол при этой же вершине являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Следовательно, угол при основании равен:

$$\angle C=180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

2. Так как треугольник $ABC$ — равнобедренный с основанием $AC\text{,}$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, является также высотой. Таким образом, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $BMC$ — прямоугольный с прямым углом $M$ ($\angle BMC=90^{\circ }$).

3. В прямоугольном треугольнике $BMC$ против угла $C=30^{\circ }$ лежит катет $BM\text{.}$ По свойству прямоугольного треугольника, катет, лежащий против угла в $30^{\circ }\text{,}$ равен половине гипотенузы $BC\text{:}$

$$BM=\frac{1}{2}BC\Rightarrow BC=2\cdot BM.$$ $$BC=2\cdot 63=126.$$

Ответ: 126.