В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = (1)/(4) AB. Площадь треугольника AMK равна 4. Найдите площадь треугольника ABC.

Пусть площадь треугольника ABC равна S_(ABC). Поскольку BM — медиана треугольника ABC, точка M является серединой стороны AC. Следовательно, AM = (1)/(2) AC. Площадь треугольника ABC выражается через стороны AB, AC и синус угла A: S_(ABC) = (1)/(2) * AB * AC * sin A. Аналогично запишем формулу для площади треугольника AMK: S_(AMK) = (1)/(2) * AK * AM * sin A. Подставим выражения AK = (1)/(4) AB и AM = (1)/(2) AC в формулу для S_(AMK): S_(AMK) = (1)/(2) * ((1)/(4) AB) * ((1)/(2) AC) * sin A = (1)/(8) * ((1)/(2) * AB * AC * sin A) = (1)/(8) S_(ABC). По условию задачи площадь треугольника AMK равна 4. Подставим это значение: 4 = (1)/(8) S_(ABC) => S_(ABC) = 4 * 8 = 32. Ответ: 32.

32