В треугольнике ABC проведена медиана BM, на стороне AB взята точка K так, что AK = (1)/(4) AB. Площадь треугольника AMK равна 4. Найдите площадь треугольника ABC.

Задача №10767: Планиметрия

Пусть площадь треугольника $A B C$ равна $S_{A B C} .$

Поскольку $B M$ — медиана треугольника $A B C,$ точка $M$ является серединой стороны $A C .$ Следовательно, $A M = \frac{1}{2} A C .$

Площадь треугольника $A B C$ выражается через стороны $A B,$ $A C$ и синус угла $A :$

S_{A B C} = \frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin A .

Аналогично запишем формулу для площади треугольника $A M K :$

S_{A M K} = \frac{1}{2} \cdot A K \cdot A M \cdot sin A .

Подставим выражения $A K = \frac{1}{4} A B$ и $A M = \frac{1}{2} A C$ в формулу для $S_{A M K} :$

S_{A M K} = \frac{1}{2} \cdot (\frac{1}{4} A B) \cdot (\frac{1}{2} A C) \cdot sin A = \frac{1}{8} \cdot (\frac{1}{2} \cdot A B \cdot A C \cdot sin A) = \frac{1}{8} S_{A B C} .

По условию задачи площадь треугольника $A M K$ равна 4. Подставим это значение:

4 = \frac{1}{8} S_{A B C} \Rightarrow S_{A B C} = 4 \cdot 8 = 32.

Ответ: 32.