Задача №10765

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию, является также высотой. Значит, $BM\perp AC\text{,}$ и треугольник $ABM$ прямоугольный с прямым углом при вершине $M\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $ABM\text{:}$

$$\mathrm{tg}A=\frac{BM}{AM}.$$

По условию $\mathrm{tg}A=\frac{12}{5}$ и $BM=12\text{,}$ поэтому:

$$\frac{12}{AM}=\frac{12}{5}\Rightarrow AM=5.$$

Боковая сторона $AB$ — гипотенуза треугольника $ABM\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$AB=\sqrt{A{M}^2+B{M}^2}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13.$$

Ответ: 13.