Задача №10764

В прямоугольном треугольнике $ABC$ угол $C=90^{\circ }\text{,}$ значит $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты. Высота $CH$ опущена из вершины прямого угла $C$ на гипотенузу $AB\text{.}$

Из основного тригонометрического тождества для острого угла $A\text{:}$

$$\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\sqrt{1-0,6^2}=\sqrt{1-0,36}=\sqrt{0,64}=0,8.$$

Катет $BC$ лежит против угла $A\text{,}$ поэтому $\sin A=\frac{BC}{AB}\text{.}$ Отсюда гипотенуза:

$$AB=\frac{BC}{\sin A}=\frac{10}{0,8}=12,5.$$

Катет $AC$ прилежит к углу $A\text{,}$ поэтому $\cos A=\frac{AC}{AB}\text{,}$ откуда:

$$AC=AB\cdot \cos A=12,5\cdot 0,6=7,5.$$

Высоту, проведённую из прямого угла к гипотенузе, найдём, приравняв два выражения для площади треугольника $ABC\text{:}$

$$\frac{1}{2}\cdot AC\cdot BC=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot CH.$$

Тогда:

$$CH=\frac{AC\cdot BC}{AB}=\frac{7,5\cdot 10}{12,5}=\frac{75}{12,5}=6.$$

Ответ: 6.