Задача №10758

Поскольку отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры окружности с центром $O\text{,}$ то точка $O$ является их общей серединой, а отрезки $OA\text{,}$ $OB\text{,}$ $OC$ и $OD$ — радиусами этой окружности. Следовательно, $OB=OC\text{.}$

Углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются вертикальными, поэтому они равны:

$$\angle BOC=\angle AOD=20^{\circ }$$

Рассмотрим треугольник $BOC\text{.}$ Так как $OB=OC\text{,}$ данный треугольник является равнобедренным с основанием $BC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике углы при основании равны:

$$\angle OBC=\angle OCB$$

Сумма углов любого треугольника равна $180^{\circ }\text{,}$ следовательно:

$$\angle BOC+\angle OBC+\angle OCB=180^{\circ }$$

Подставим значение угла $\angle BOC$ и воспользуемся равенством углов при основании:

$$20^{\circ }+2\angle OCB=180^{\circ }$$ $$2\angle OCB=160^{\circ }$$ $$\angle OCB=80^{\circ }$$

Угол $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle OCB\text{,}$ поэтому $\angle ACB=80^{\circ }\text{.}$