Задача №10753

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм, $AK$ — биссектриса угла $A\text{.}$

1. Так как $AK$ — биссектриса угла $A\text{,}$ то $\angle BAK=\angle KAD\text{.}$
2. Так как $BC\parallel AD$ как противоположные стороны параллелограмма, то накрест лежащие углы $\angle BKA$ и $\angle KAD$ равны: $\angle BKA=\angle KAD\text{.}$
3. Из равенств $\angle BAK=\angle KAD$ и $\angle BKA=\angle KAD$ следует, что $\angle BAK=\angle BKA\text{.}$ Таким образом, треугольник $ABK$ — равнобедренный с основанием $AK\text{.}$ Следовательно, его боковые стороны равны:

$$BK=AB=8.$$

4. Периметр параллелограмма равен $P=2(AB+BC)\text{.}$ По условию $P=40\text{,}$ откуда:

$$2(8+BC)=40\Rightarrow 8+BC=20\Rightarrow BC=12.$$

5. Длина отрезка $BC$ равна сумме длин отрезков $BK$ и $KC\text{:}$

$$BC=BK+KC\Rightarrow 12=8+KC\Rightarrow KC=4.$$

Ответ: 4