Задача №10752

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=39\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. По признаку ромба, если диагонали параллелограмма перпендикулярны, то этот параллелограмм является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

2. У ромба все стороны равны, значит, $AB=BC=CD=DA=39\text{.}$

3. Противоположные углы параллелограмма равны, поэтому $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию $\angle A+\angle C=120^{\circ }\text{,}$ следовательно:

4. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ Так как $AB=AD=39\text{,}$ треугольник $ABD$ — равнобедренный. Угол при вершине $A$ равен $60^{\circ }\text{,}$ значит, углы при основании также равны:

5. Таким образом, все углы треугольника $ABD$ равны $60^{\circ }\text{,}$ следовательно, треугольник $ABD$ — равносторонний. Значит, $BD=AB=39\text{.}$

Ответ: 39