Задача №10745

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=72$ и $AD=126\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

В прямоугольнике $ABCD$ стороны $AB$ и $BC$ перпендикулярны, причём $BC=AD=126$ и $CD=AB=72\text{.}$

Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{,}$ угол при вершине $B$ прямой ($\angle ABE=90^{\circ }$), а $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Значит, треугольник $ABE$ прямоугольный и равнобедренный, поэтому:

Тогда отрезок:

Рассмотрим треугольник $ECD\text{.}$ Угол при вершине $C$ прямой ($\angle ECD=90^{\circ }$), катеты равны $EC=54$ и $CD=72\text{.}$ По теореме Пифагора:

Ответ: 90.