На стороне BC прямоугольника ABCD, у которого AB = 44 и AD = 77, отмечена точка E так, что EAB = 45^. Найдите ED.

Задача №10742: Планиметрия

Дано: прямоугольник $A B C D,$ у которого $A B = 44,$ $A D = 77 .$ На стороне $B C$ отмечена точка $E$ так, что $∠ E A B = 4 5^{\circ} .$

1. Так как $A B C D$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, а углы прямые:

B C = A D = 77, C D = A B = 44

∠ B = ∠ C = 9 0^{\circ} .

2. Рассмотрим прямоугольный треугольник $A B E$ ( $∠ B = 9 0^{\circ}$ ):
Так как по условию $∠ E A B = 4 5^{\circ},$ то угол $∠ A E B$ равен:

∠ A E B = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .

Следовательно, треугольник $A B E$ — равнобедренный, откуда:

B E = A B = 44.

3. Найдем длину отрезка $E C :$

E C = B C - B E = 77 - 44 = 33.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $E C D$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ):
По теореме Пифагора:

E D = E C^{2} + C D^{2}

E D = 3 3^{2} + 4 4^{2} = (3 \cdot 11)^{2} + (4 \cdot 11)^{2} = 1 1^{2} \cdot (3^{2} + 4^{2}) = 11 \cdot 9 + 16 = 11 \cdot 5 = 55.

Дано: прямоугольник $A B C D,$ у которого $A B = 44,$ $A D = 77 .$ На стороне $B C$ отмечена точка $E$ так, что $∠ E A B = 4 5^{\circ} .$

1. Так как $A B C D$ — прямоугольник, его противоположные стороны равны, а углы прямые:

B C = A D = 77, C D = A B = 44

∠ B = ∠ C = 9 0^{\circ} .

∠ A E B = 9 0^{\circ} - 4 5^{\circ} = 4 5^{\circ} .

Следовательно, треугольник $A B E$ — равнобедренный, откуда:

B E = A B = 44.

3. Найдем длину отрезка $E C :$

E C = B C - B E = 77 - 44 = 33.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $E C D$ ( $∠ C = 9 0^{\circ}$ ):
По теореме Пифагора:

E D = E C^{2} + C D^{2}

E D = 3 3^{2} + 4 4^{2} = (3 \cdot 11)^{2} + (4 \cdot 11)^{2} = 1 1^{2} \cdot (3^{2} + 4^{2}) = 11 \cdot 9 + 16 = 11 \cdot 5 = 55.