Задача №10740

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Площади трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 12, 15 и 30. Найдите площадь четвёртого прямоугольника.

Двумя разрезами (одним вертикальным и одним горизонтальным) прямоугольник делится на четыре меньших. Обозначим ширины двух получившихся столбцов через $a$ (левый) и $b$ (правый), а высоты двух строк через $h$ (верхняя) и $k$ (нижняя).

Тогда площади четырёх прямоугольников выражаются так:

1. левый верхний: $a\cdot h\text{;}$
2. правый верхний: $b\cdot h\text{;}$
3. правый нижний: $b\cdot k\text{;}$
4. левый нижний: $a\cdot k\text{.}$

По условию (начиная с левого верхнего по часовой стрелке): $a\cdot h=12\text{,}$ $b\cdot h=15\text{,}$ $b\cdot k=30\text{.}$ Искомая площадь — левого нижнего прямоугольника $S=a\cdot k\text{.}$

Заметим, что произведение площадей прямоугольников, расположенных по одной диагонали, равно произведению площадей по другой диагонали:

Обе части равны $abhk\text{.}$ Подставим известные значения:

Отсюда:

Ответ: 24.