Задача №10739

Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей ромба $ABCD\text{.}$

Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Следовательно, треугольник $AOB$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O\text{,}$ а отрезок $AO$ равен половине диагонали $AC\text{:}$

$$AO=\frac{AC}{2}=\frac{20}{2}=10.$$

В прямоугольном треугольнике $AOB$ по теореме Пифагора найдем катет $BO\text{:}$

$$A{B}^2=A{O}^2+B{O}^2\Rightarrow BO=\sqrt{A{B}^2-A{O}^2}.$$

Подставим числовые значения:

$$BO=\sqrt{(\sqrt{101}{)}^2-10^2}=\sqrt{101-100}=\sqrt{1}=1.$$

Угол $BAC$ совпадает с углом $BAO\text{.}$ Тангенс угла $BAC$ в прямоугольном треугольнике $AOB$ равен отношению противолежащего катета $BO$ к прилежащему катету $AO\text{:}$

$$\mathrm{tg}\angle BAC=\frac{BO}{AO}=\frac{1}{10}=0,1.$$

Ответ:
$0,1$