Задача №10737

На окружности отмечены точки $D$ и $C\text{,}$ лежащие по разные стороны от диаметра $AB$ ($D$ — выше диаметра, $C$ — ниже). Дано $\angle DBA=39^{\circ }\text{.}$

Шаг 1. Угол, опирающийся на диаметр.

Вписанный угол $ACB$ с вершиной $C$ опирается на диаметр $AB\text{,}$ поэтому он прямой:

$$\angle ACB=90^{\circ }.$$

Шаг 2. Равные вписанные углы.

Углы $\angle ACD$ (вершина $C$) и $\angle ABD=\angle DBA$ (вершина $B$) — это вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу $AD\text{.}$ Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны, поэтому

$$\angle ACD=\angle DBA=39^{\circ }.$$

Шаг 3. Искомый угол.

Так как точки $D$ и $C$ лежат по разные стороны от диаметра, луч $CD$ проходит внутри угла $ACB\text{,}$ и

$$\angle DCB=\angle ACB-\angle ACD=90^{\circ }-39^{\circ }=51^{\circ }.$$

Ответ: $51\text{.}$